浮点数 - Astrylia小站

1. IEEE 754 浮点数结构

IEEE 754 浮点数由三个部分组成：

符号位（1 位）：用于表示数的正负，0 表示正数，1 表示负数。
指数位（单精度 8 位，双精度 11 位）：用于存储指数，并使用偏移（Bias）来表示。单精度偏移值为 127，双精度偏移值为 1023。
尾数位（单精度 23 位，双精度 52 位）：用于存储有效数字的小数部分。对于规格化数，会有一个“隐含位” 1，不会存储在尾数字段里，而对于非规格化数，则没有隐含位。

下面是一张示意图，展示了单精度浮点数的整体结构（1 位符号 + 8 位指数 + 23 位尾数）：

2. 浮点数的表示方法

在计算机内部，浮点数使用一种类似科学记数法的二进制形式来表示。

3. 规格化数与非规格化数

在 IEEE 754 中，根据指数字段的值，浮点数分为两类：规格化数（Normalized）和非规格化数（Denormalized）。

两者的主要区别在于指数字段是否为全 0，以及尾数部分是否存在“隐含位” 1。

规格化数（Normalized）

当指数字段不全为 0 时，该数属于规格化数。这时，尾数部分默认存在一个 1 在小数点前，但这一位不会直接存储，称为“隐含位”（Implicit Leading 1）。省略隐含位可以多利用一位空间来表示尾数，从而提高数值精度。

非规格化数（Denormalized）

当指数字段全为 0 时，该数属于非规格化数。此时，尾数不再附加隐含位，实际存储的尾数从 0. … 开始。非规格化数用于表示非常接近 0 的数值，虽然精度不如规格化数高，但能够覆盖规格化数所无法表示的最小范围，保证浮点数在接近 0 时的连续性。

举例说明

尾数字段是：

10100000000000000000000

对于规格化数

对于非规格化数

计算方式一样，但没有加 1, 实际尾数 = 0.625

4. 指数存储范围

单精度浮点数的指数字段为 8 位，可表示 0 到 255 共 256 种组合。

但在 IEEE 754 中，这 0–255 并不全部对应真实指数值：

指数全 0（00000000）：表示非规格化数或零，而不是一个正常指数。
指数全 1（11111111）：表示特殊值，包括无穷大（Infinity）和 NaN（Not a Number），也不对应正常指数。
真正用于规格化数的指数范围是 1 到 254，对应的真实指数范围为 −126 到 +127。

因此，单精度浮点数所能表示的指数范围（有效指数）是 −126 到 +127。

5. 隐含位（Hidden Bit）

在 IEEE 754 规范中，所有规格化数都可以写为：

1.xxxxxx₂ × 2^exp

由于小数部分的整数位始终是 1，可用“隐含位”来表示：存储时不必再写出这一位，仅需记录小数部分。这样就相当于多节省了一位存储空间，提高了尾数的有效位数。例如，尾数字段存储 101000…，实际尾数应为 1.101₂ = 1 + 0.625 = 1.625。如果去掉隐含位，则只需存储 0.101₂ 部分，即二进制 101000…。